趋势外推法
趋势外推法（Trend extrapolation）
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什么是趋势外推法？
趋势外推法（Trend extrapolation）是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称，用于科技、经济和社会发展的预测，是情报研究法体系的重要部分。
趋势外推的基本假设是未来系过去和现在连续发展的结果。
趋势外推法的基本理论是：决定事物过去发展的因素，在很大程度上也决定该事物未来的发展，其变化，不会太大；事物发展过程一般都是渐进式的变化，而不是跳跃式的变化掌握事物的发展规律，依据这种规律推导，就可以预测出它的未来趋势和状态。
趋势外推法首先由R.赖恩（Rhyne）用于科技预测。他认为，应用趋势外推法进行预测，主要包括以下6个步骤：
（1）选择预测参数；
（2）收集必要的数据；
（3）拟合曲线；
（4）趋势外推；
（5）预测说明；
（6）研究预测结果在制订规划和决策中的应用。
趋势外推法是在对研究对象过去和现在的发展作了全面分析之后，利用某种模型描述某一参数的变化规律，然后以此规律进行外推。
趋势外推法的种类
- 一、直线趋势延伸法
预测目标的时间序列资料逐期增（减）量大体相等时，长期趋势即基本呈现线性趋势，便可选用直线趋势延伸法进行预测。
遇到时间序列大多数数据点变化呈现线性，个别点有异常现象时，经过质数分析，可以在作数据处理（删除或作调整）后再找线性趋势直线进行预测。
直线趋势延伸法与平滑技术（二次移动平均法和二次指数平滑法）同样是遵循事物发展连续原则，以预测目标时间序列资料呈现有单位时间增（减）量大体相同的长期趋势变动为适用条件的。
它们之间的区别为：
（1）预测模型的参数计算方法不同。直线趋势延伸法模型参数靠最小二乘法数学推导；平滑技术主要靠经验判断决定或。
（2）线性预测模型中的时间变量的取值不同。直线趋势延伸法中时间变量取值决定于未来时间在时间序列中的时序；平滑技术模型中的时间变量的取值决定于未来时间相距建模时点的时间周期数。
（3）模型适应市场的灵活性不同。直线趋势延伸预测模型参数对时间序列资料一律同等看待，在拟合中消除了季节、不规则、循环三类变动因子的影响，反映时间序列资料长期趋势的平均变动水平；平滑技术预测模型参数对时间序列资料则采用重近轻远原则，在拟合中能较灵敏地反映市场变动的总体水平。
（4）随时间推进，建模参数计算的简便性不同。随着时间推进，时间序列资料增加，直线趋势延伸预测模型参数要重新计算，且与前面预测时点的参数计算无关；平滑技术模型参数同样要重新计算，但与前面预测时点的参数计算是有关系的。
- 二、曲线趋势法
市场商品的需求与供应，由于受到政策性因素、消费者心理因素、季节性因素等多种因素的影响，其变动趋势并非都是一条直线状态，有时会呈现出不同形状的曲线变动趋势。在这种情形下，就需要用曲线方程式求得曲线趋势变动线，然后加以延伸，确定预测值。
由于影响市场的因素很多，使得曲线方程式多种多样，主要有二次曲线法、三次曲线法、戈珀兹曲线法和指数曲线法。
- 三、简单的函数模型
为了拟合数据点，实际中最常用的是一些比较简单的函数模型，如线性模型、指数曲线、生长曲线、包络曲线等。
线性趋势外推法是最简单的外推法。这种方法可用来研究随时间按恒定增长率变化的事物。在以时间为横坐标的坐标图中，事物的变化接近一条直线。根据这条直线，可以推断事物未来的变化。
应用线性外推法，首先是收集研究对象的动态数列，然后画数据点分布图，如果散点构成的曲线非常近似于直线，则可按直线规律外推。
指数曲线法（Exponential curve）是一种重要的趋势外推法。当描述某一客观事物的指标或参数在散点图上的数据点构成指数曲线或近似指数曲线时，表明该事物的发展是按指数规律或近似指数规律变化。如果在预测期限内，有理由说明该事物仍将按此规律发展，则可按指数曲线外推。
许多研究结果表明，技术发展，有时包括社会发展，其定量特性往往表现为按指数规律或近似指数规律增长，一种技术的发展通常要经过发生、发展和成熟3个阶段。在技术发展进入阶段之前，有一个高速发展时期。一般地说，在这个时期内，很多技术特性的发展是符合指数增长规律的。例如，运输工具的速度、发动机效率、电站容量、计算机的存贮容量 和运算速度等，其发展规律均表现为指数增长趋势。
对于处在发生和发展阶段的技术，指数曲线法是一种重要的预测方法，一次指数曲线因与这个阶段的发展趋势相适应，所以比较适合处于发生和发展阶段技术的预测，一次指数曲线也可用于经济预测，因为它与许多经济现象的发展过程相适应，二次指数曲线和修正指数曲线则主要用于经济方面的预测。
生长曲线模型（Growth curve models）可以描述事物发生、发展和成熟的全过程，是情报研究中常用的一种方法。
生物群体的生长，例如人口的增加、细胞的繁琐，开始几乎都是按指数函数的规律增长的。在达到一定的生物密度以后，由于自身和环境的制约作用，逐渐趋于一稳定状态。通过对技术发展过程的研究，发现也具有类似的规律。由于技术性能的提高与生物群体的生长存在着这种非严谨的类似，因而可用生长曲线模拟技术的发展过程。
生长曲线法几乎可用来研究每个技术领域的发展，它不仅可以描述技术发展的基本倾向，而更重要的是，它可以说明一项技术的增长由高速发展变为缓慢发展的转折时期，为规划决策确定开发新技术的恰当时机提供依据。
有些经济现象也符合或近似生长曲线的变化规律，因而它也完全可以用来研究经济领域的问题。
1、概念
生长曲线描述一项单元技术的发展过程，而包络曲线（Envelop curve）描述整个技术系统的发展过程。一项单元技术有功能特性上限，而由一系列先后相继的单元技术构成的整个技术系统，不会因单元技术达到性能上限而停止发展。例如，把计算机作为整个技术系统，则分别以电子管→晶体管→中小规模集成电路到大规模集成电路作为逻辑元件的相应计算机就是它的单元技术。随着单元技术的更替，计算机技术性能在不断提高。
由于单元技术的连续更替，在时间—特性图上表现为一系列的S曲线，随时间的推移，后一条S曲线的性能比前一条S曲线的性能比前一条S曲线有所提高。如果把这一系列S曲线边成一条包络曲线，其形状也往往是一条S曲线。R.艾尔斯（Ayres）通过对整个技术系统实际发展过程的观察和分析，列举了许多实例，用以说明整个技术系统的发展是符合包络曲线规律的。例如：粒子加速器工作能量的增加，白炽灯效率的提高，航空发动机功率的增长，交通工具速度的提高等。
这些事实说明，整个技术系统的发展也是连续的，呈现某种规律性，符合或近似包络曲线规律。这一规律是制订长远科技发展规划的一个依据。
2、用途
用包络曲线外推，可以估计某个技术系统的特性参数在未来某一时间将会达到什么水平，适用于长期技术预测。此外，它还有以下两个方面的实际用途：
①、用于分析新技术可能出现的时机
根据整个技术系统的特性参数遵循包络曲线发展的规律，当某一单元技术的性能趋于其上限时，通常会有另一新的单元技术出现，推动整个技术系统的发展。按照这个原理，如果将包络曲线法与生长曲线法结合起来使用，当现有技术的性能水平接近其上限时，规划制订者就应该估计，是否会有另一新的单元技术出现，从而相应地作出新技术的科研规划和计划，并加以实施，以保持产品的先进性。
②、用于验证规划中制订的技术参数指标是否合理，为未来产品设计的功能特性参数提供评价依据。
如果目标规定的技术参数值订在外推的包络曲线之上，表明有可能冒进；反之，则可能是偏于保守的。
趋势外推法的基本假设
趋势外推预测法和所有的时间序列分析一样，都基于下边两个基本假设：
(1)决定事物过去发展的因素，在很大程度上仍决定事物的未来发展，这些因素作用的机理和数量关系是不变的，或变化不大。
(2)未来发展的过周属于渐进过程，不是跳跃式的变化，即促使社会经济现象不规则波动的因素，是不稳定的短期起作用的因素，它对社会经济现象只产生局部的偶然影响。
趋势外推法的主要目标
趋势外推法的主要目标，是根据过去经济现象逐期增减变动的数量或比率，研究经济发展变化的规律性，预测未来发展的趋势。趋势外推法也是一种模型预测法。模型法即数学模型法，就是用一个或一组数学方程(包括代数方程、微分方程或差分方程等）来表示所预测事物随时间变化的形式或客观事物之间的关系，来计算事物未来的变化与状态，达到预测的目的。当数学模型代表事物随时间变化的形式，就属于趋势外推预测技术。
趋势外推法的研究问题
趋势外推法的数学模型很多，对数学模型的选用，既要分析有关预测对象的历史数据，还要分析其未来发展的趋势过程。主要研究的问题有：
1.预测参数是单调递增还是单调递减，是有一个或几个极值，极值是稳定的还是周期变动的；
2.预测参数的极值是极大还是极小；
3.决定预测对象发展过程的函数有无拐点；
4.描述预测对象的函数是否具有对称性；
5.预测对象的发展过程在时间上是否有明显的限制等。
趋势外推法的案例分析
趋势外推函数很多，常用的有线性函数、抛物线函数、指数函数、修正指数函数、双曲线函数、罗古斯谛曲线函数、戈帕斯曲线函数及幂函数等。这里采用指数曲线模型预测法。
- 1.预测模型的建立
在一个较长的时期里，分规格分工部的标准可比成本应该呈下降趋势，并逐步逼近一个极限值。
因为这种标准可比成本实际上是由物耗直接得出，各时期比较的是物耗，所以随着生产技能的提高及生产设备的改进，生产定量的某种产品的物耗必然会降低，但是又不可能无限降低，所以长期来看应符合图。中曲线走向。
上述曲线的方程Y = aeblX就是指数曲线模型.当a>0,b>0时,Y随X增大单调递减上凹,具有渐近线X=0和Y=a。当a>0,b<0时,Y单调递增;在X的区间(0,-2/b)上,曲线上凹,且当X→0时,Y=0;X=-2/b,Y = aexp( − b2 / 2)为曲线拐点坐标;在X的开区间()上,曲线下凹,且以Y=a为渐近线。其中a、b为参数。X是时间,可以天为单位,也可以周、月为单位,但必须统一(这里统一为天数)。为实际的综合成本或可比成本,我们用历史数据求出参数a、b确定模型,然后就可计算出趋势值Y_i。方法如下:将
化归为线性方程,两边取对数得:
（1）
令u = lnY,A = lna,,得：A+bv=u式(1)可看作是趋势外推法中的直线模型。直线模型的关键是如何确定a、b参数,使其误差最小。这里选用最小二乘法。
最小二乘法是使实际值和趋势值之差的平方和最小：最小，即
为最小。(假设这里的Y就是u，即lnY；x是v，即1/X；要求的参数a、b就是对应的A、b)根据求最小值原理，对a、b求导数，并令其为零，即：
(2)
(3)
n为时间序列的项数，解此联立方程，可求得a、b为：
(4)
以上计算a、b时，代表天数的x值为0，1，2，…，起点为0，计算比较复杂。为了简化计算，改变x值为…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…；当天数为偶数时，用中间两天的中点为零，即x值为…，-5，-3，-1，1，3，5，…。由此可得总是为零。于是式（4）可简化为：
(5)
上述计算完成后，在用相应的参数A、b替换a、b，然后带入解方程求出成本值。
- 2.程序流程
程序流程如下图所示。
- 3.预测实例
取某钢铁铸管集团公司在2001年六月份的日生产数据，如下表所示：
首先解出，
,
,与n=9代入式（5）可得：
(即是式（1）中的A)
根据A的值及代换公式A = lna，可得a=2697.28,b不变，为方便起见v不代换。要预测6月10日的值，可带入公式：Y = 2697.28e − 0.0083v；6月10日的自变量v的值应该是5，因此，,实际上6月10日的综合成本是2718.15，误差是3.4%，预测结果比较准确。