马尔可夫过程

马尔可夫过程（Markov Process）

　　1、马尔可夫性(无后效性)

　　过程或（系统）在时刻t₀所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t > t₀所处状态的条件分布，与过程在时刻t₀之前处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。

　　即：已知过程“现在”的情况，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。

　　2、马尔可夫过程的定义

　　具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。

　　用分布函数表述马尔可夫过程：

　　设I：随机过程{X(t),t\in T}的状态空间，如果对时间t的任意n个数值:

　　（注：X(t_n)在条件X(t_i) = x_i下的条件分布函数）

　　(注：X(t_n))在条件X(t_{n − 1}) = x_{n − 1}下的条件分布函数）

　　或写成：

　　这时称过程具马尔可夫性或无后性，并称此过程为马尔可夫过程。

　　3、马尔可夫链的定义

　　时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。

　　研究时间和状态都是离散的随机序列:,状态空间为

　　1、用分布律描述马尔可夫性

　　对任意的正整数n,r和，有：

　　PX_{m + n} = a_j | X_m = a_i，其中。

　　2、转移概率

　　称条件概率P_ij(m,m + n) = PX_{m + n} = a_j | X_m = a_i为马氏链在时刻m处于状态a_i条件下，在时刻m+n转移到状态a_j的转移概率。

　　说明：转移概率具胡特点：

　　。

　　由转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵。它是随机矩阵。

　　3、平稳性

　　当转移概率P_ij(m,m + n)只与i,j及时间间距n有关时，称转移概率具有平稳性。同时也称些链是齐次的或时齐的。

　　此时，记P_ij(m,m + n) = P_ij(n),P_ij(n) = PX_{m + n} = a_j | X_m = a_i(注：称为马氏链的n步转移概率)

　　P(n) = (P_ij(n))为n步转移概率矩阵。

　　特别的, 当 k=1 时,

　　一步转移概率：P_ij = P_ij(1) = PX_{m + 1} = a_j | X_m = a_i。

　　一步转移概率矩阵：P(1)

　　设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，任一天晴或雨是互为逆事件。以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，X_n表示第n天状态（0或1）。试定出马氏链的一步转移概率矩阵。又已知5月1日为晴天，问5月3日为晴天，5月5日为雨天的概率各等于多少？

　　解：由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为：

　　故5月1日为晴天，5月3日为晴天的概率为：

　　又由于：

　　故5月1日为晴天，5月5日为雨天的概率为：P₀₁(4) = 0.5995