相关系数

相关系数(Correlation coefficient)

目录

  • 1 什么是相关系数
  • 2 相关系数的几种定义
  • 3 相关系数的性质[1]
  • 4 相关系数的计算方法
  • 5 相关系数的应用[1]
  • 6 相关系数的缺点
  • 7 参考文献

什么是相关系数

  相关表相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向,但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

  著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算,同样以两变量与各自平均值的离差为基础,通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度;着重研究线性的单相关系数。

  依据相关现象之间的不同特征,其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数(相关系数的平方称为判定系数);将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数;将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数复判定系数等。

相关系数的几种定义

  相关关系是一种非确定性的关系,相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同,相关系数有如下几种定义方式。

  简单相关系数:又叫相关系数或线性相关系数,一般用字母P 表示,是用来度量变量间的线性关系的量。

  复相关系数:又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如,某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

  典型相关系数:是先对原来各组变量进行主成分分析,得到新的线性关系的综合指标,再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

相关系数的性质

  (1)

  (2)定理: | ρXY | = 1的充要条件是,存在常数a,b,使得

  相关系数ρXY取值在-1到1之问,ρXY = 0时,

  称X,Y不相关; | ρXY | = 1时,称X,Y完全相关,此时,X,Y之间具有线性函数关系; | ρXY | < 1时,X的变动引起Y的部分变动,ρXY的绝对值越大,X的变动引起Y的变动就越大, | ρXY | > 0.8时称为高度相关,当,即 | ρXY | < 0.3时,称为低度相关,其他为中度相关。

  (3)推论:若Y=a+bX,则有

  

  证明: 令E(X) = μD(X) = σ2

  则E(Y) = bμ + aD(Y) = b2σ2

  E(XY) = E(aX + bX2) = aμ + b2 + μ2)

  Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ2

  若b≠0,则

  若b=0,则ρXY = 0

相关系数的计算方法

  相关系数的公式如下:

    (1)

  

  

  

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

  

  

  

  

  相关系数的值介于–1与+1之间,即–1≤r≤+1。其性质如下:

  例:某财务软件公司在全国有许多代理商,为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系,统计人员随机选择10家代理商进行观察,搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据,并编制成相关表,见表1:

  表1  广告费与月平均销售额相关表  单位:万元

年广告费投入月均销售额
12.5
15.3
23.2
26.4
33.5
34.4
39.4
45.2
55.4
60.9
21.2
23.9
32.9
34.1
42.5
43.2
49.0
52.8
59.4
63.5

  参照表1,可计算相关系数如表2:

序号广告投入(万元)
x
月均销售额(万元)
y
x^2y2xy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12.5
15.3
23.2
26.4
33.5
34.4
39.4
45.2
55.4
60.9
21.2
23.9
32.9
34.1
42.5
43.2
49.0
52.8
59.4
63.5
156.25
234.09
538.24
696.96
1122.25
1183.36
1552.36
2043.04
3069.16
3708.81
449.44
571.21
1082.41
1162.81
1806.25
1866.24
2401.00
2787.84
3528.36
4032.25
265.00
365.67
763.28
900.24
1423.75
1486.08
1930.60
2386.56
3290.76
3867.15
合计346.2422.514304.5219687.8116679.09
=0.9942

  相关系数为0.9942,说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。   

相关系数的应用

  1.在概率论计算中的应用

  例1.若将一枚硬币抛n次,X表示n次试验中出现正面的次数,Y表示n次试验中出现反面的次数。计算ρXY

  解:由于X+Y=n,则Y=-X+n,根据相关系数的性质推论,得ρXY = − 1

  例2.已知随机变量X、Y分别服从正态分布N(1,9),N(0,16)且X,Y的相关系数

  设,求证X,Z相互独立。

  证明:由已知得E(X)=1,D(X)=9,E(Y)= 0,D(Y) = 16

  

  由于正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布,知Z是正态变量。

  根据数学期望的性质有

  根据方差的性质有

  

  由于 E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) = − 6

  E(X2) = D(X) + [E(X)]2 = 10

  

  

  ρXZ = 0,X,Z不相关。

  由于正态随机变量的相互独立与互不相关等价,故X,Z相互独立。

  因此,一般情况下两个随机变量不相关不一定相互独立。不相关仅指随机变量之问没有线性关系,而相互独立则表明随机变量之间互不影响,没有关系。

  2.在企业物流上的应用

  【例】一种新产品上市。在上市之前,公司的物流部需把新产品合理分配到全国的10个仓库,新品上市一个月后,要评估实际分配方案与之前考虑的其他分配方案中,是实际分配方案好还是其中尚未使用的分配方案更好,通过这样的评估,可以在下一次的新产品上市使用更准确的产品分配方案,以避免由于分配而产生的积压和断货。表1是根据实际数据所列的数表。

  通过计算,很容易得出这3个分配方案中,B的相关系数是最大的,这样就评估到B的分配方案比实际分配方案A更好,在下一次的新产品上市分配计划中,就可以考虑用B这种分配方法来计算实际分配方案。

  3.在聚类分析中的应用

  【例】如果有若干个样品,每个样品有n个特征,则相关系数可以表示两个样品问的相似程度。借此,可以对样品的亲疏远近进行距离聚类。例如9个小麦品种(分别用A1,A2,...,A9表示)的6个性状资料见表2,作相关系数计算并检验。

  由相关系数计算公式可计算出6个性状间的相关系数,分析及检验结果见表3。由表3可以看出,冬季分蘖与每穗粒数之间呈现负相关(ρ = − 0.8982),即麦冬季分蘖越多,那么每穗的小麦粒数越少,其他性状之间的关系不显著。

相关系数的缺点

  需要指出的是,相关系数有一个明显的缺点,即它接近于1的程度与数据组数n相关,这容易给人一种假象。因为,当n较小时,相关系数的波动较大,对有些样本相关系数的绝对值易接近于1;当n较大时,相关系数的绝对值容易偏小。特别是当n=2时,相关系数的绝对值总为1。因此在样本容量n较小时,我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。

  例如,就我国深沪两股市资产负债率与每股收益之间的相关关系做研究。发现1999年资产负债率前40名的上市公司,二者的相关系数为r=–0.6139;资产负债率后20名的上市公司,二者的相关系数r=0.1072;而对于沪、深全部上市公司(基金除外)结果却是,r沪=–0.5509,r深=–0.4361,根据三级划分方法,两变量为显著性相关。这也说明仅凭r的计算值大小判断相关程度有一定的缺陷。

参考文献

  1. 1.0 1.1 郭红霞.相关系数及其应用.武警工程学院学报.2010年3月,第26卷第2期
  2. 王爱莲.统计学.第七章 相关与回归分析.第一节 相关分析.西安石油大学.经济管理学院
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