灰色系统预测法
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什么是灰色系统预测法
灰色系统预测法是指对一些行为效果已知、而产生行为的原因较模糊的抽象灰色系统的预测方法。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
灰色系统预测主要包括
灰色系统预测主要包括：
1.数列预测，即对系统行为特征值的预测。
2.激励预测，即对在一些突然性因素影响下的行为特征值的预测。
3.突变预测，即对系统的行为特征值超过一定限度而造成“突变”的时间的预测。
4.季节突变预测，即在某一特定时期内发生的突变的预测。
5.拓展预测，是对不规则波动系统的行为特征的波形的预测。
6.系统预测，是一种综合预测，即先用不同模型表示变量之间的关系，得到一组模型，然后再进一步采用模型来表示诸模型组之间的关系，得到一个复合模型来进行预测。
灰色系统预测法的特点
该预测方法具有以下特点：
- 不需要大量的样本；
- 预测精度较高；
- 用累加生成拟合微分方程，符合能量系统的变化规律；
- 可以进行长期预测。
灰色系统预测法的建模方法和过程
（1）数据处理。假设给定原始时间数据序列为：
（4-40）
这些数据表现为：量少、无规律、随机性强、波动明显等。此时，将原始数据列进行一次累加生成1-AGO，获得新的数据列：
（4-41）
式中，。由于新生成的数据列为一条单调增长的曲线，增加了原始数据列的规律性，弱化了其波动性。
（2）建立微分方程。灰色系统建模思想是直接将时间序列转化为微分方程，从而建立抽象系统的发展变化动态模型，简记为GM。GM（1,1）模型的原始形式为：x(0)(k) + ax(1)(k) = b,其中，G表示Grey，M表示Model，1表示1阶方程，1表示1个变量，a和b为参数。设
（4-42）
式中，,则称
x(0)(k) + az(1)(k) = b （4-43）
为GM（1,1）模型的基本形式。
若为参数列，且
，
（4-44）
则灰色微分方程式（4-44）的最小二乘估计参数列满足：
（4-45）
设非负序列X(0)和1-AGO序列X(1)如式（4-41）和式（4-42）所示，其中Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，如式（4-43）所示，，
则称 （4-46）
为灰色微分方程式（4-44）的白化方程，也叫影响方程。进行物流预测时，常常采用该白化方程。
（3）参数估计a和b。具体公式为式（4-45）和式（4-46），其中式（4-45）结合式（4-43）代入得
，
（4-47）
（4-48）
把式（4-47）代入式（4-48）可得a和b的值。
（4）预测模型。白化方程式（4-46）的解也称时间相应预测值，具体为：
（4-49）
GM（1，1）灰色微分方程式（4-43）或式（4-46）的时间相应序列为：
，
（4-50）
取x(1)(0) = x(0)(1)，则
，
（4-51）
（5）还原模型。最后由于灰色系统理论建立的是累加数据的模型，因此我们必须对累加的数据进行还原，得到还原模型：
，
（4-52）
GM（1,1）模型的综合预测模型为：
灰色系统预测法的模型检验
设原始序列为式（4-41），相应的预测模型序列为：
残差序列为：
（1）残差检验。按预测模型计算，并将
累减生成
，然后计算原始数据x(0)(k)与预测值
的绝对误差序列和相对误差序列：
（4-53）
（4-54）
对于，称
为k点模拟相对误差，称
为平均相对误差；称
为平均相对精度，1 − Δk为k点的模拟精度
。给定α，当Δ < α且Δk < α成立时，该模型为残差合格模型。
（2）后验差检验。第1后验指标为方差比，对于给定的C0 > 0,当C < C0时，称模型为均方差合格模型。第2后验指标为小误差概率
，对于给定的p0 > 0，当p < p0时，称模型为小误差概率合格模型。
上述式中：S1位原始序列标准差；S2为绝对误差标准差；为预测误差；
为其均值；p=m/n(m为小于上述条件的误差个数)。通过检验的标准为精度等级月消越好，4级为不通过，精度等级如表4-8所示。
| 精度等级 | ||||
虽然GM（1，1）模型在预测方面应用广泛且效果显著，但并不是所有的数据序列都能建立GM（1，1）模型。在建立GM（1，1）模型之前，数列必须满足一定的前提条件：
1）数据序列要满足准光滑性条件，光滑比为准光滑性检验条件；
2）数据序列必须满足灰指数规律，序列的变化速度不能太快，级比为准指数规律检验条件。
对于满足准光滑性条件和灰指数规律的序列，可以建立GM（1，1）模型。一般非负系列累加生成后，可以得到光滑序列，非负光滑序列累加生成后，都会减少随机性，呈现出近似的指数增长规律。原始数列越光滑，生成后的指数规律也越明显。因此保证数列光滑性是生成指数的关键。对于非光滑或震荡数列，一般经过二级弱化算子作用后就能变成为光滑数列。