平稳时间序列预测法

　　1、时间序列Y_t取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则称过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。

　　2、宽平稳时间序列的定义：设时间序列y_t，对于任意的t,k和m，满足：

　　E(y_t) = E(y_{t + m})

　　cov(y_t,y_{t + k}) = cov(y_{t + m},y_{t + m + k})

　　则称y_t宽平稳。

　　3、Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。

　　4、ARMA模型三种基本形式：自回归模型（AR：Auto-regressive），移动平均模型（MA：Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。

　　（1）自回归模型AR(p)：如果时间序列y_t满足

　　其中ε_t是独立同分布的随机变量序列，且满足：

　　则称时间序列y_t服从p阶自回归模型。或者记为φ(B)y_t = y_{t − k}。

　　平稳条件：滞后算子多项式的根均在单位圆外，即φ(B) = 0的根大于1。

　　（2）移动平均模型MA(q)：如果时间序列y_t满足：

　　则称时间序列 服从q阶移动平均模型。或者记为y_t = θ(B)ε₁。

　　平稳条件：任何条件下都平稳。

　　（3）ARMA(p,q)模型：如果时间序列y_t满足

　　则称时间序列y_t服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为φ(B)y_t = θ(B)ε_t。

　　特殊情况：q=0,模型即为AR(p)，p=0, 模型即为MA(q)。

　　1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单易行、较为直观，根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。

　　2、自相关函数的定义：滞后期为k的自协方差函数为：r_k = cov(y_{t − k},y_t)，则y_t的自相关函数为：，其中。当序列平稳时，自相关函数可写为：。

　　3、样本自相关函数为：，其中，它可以说明不同时期的数据之间的相关程度，其取值范围在-1到1之间，值越接近于1，说明时间序列的自相关程度越高。

　　4、样本的偏自相关函数：

　　5、时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：

　　 ①若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间，则该时间序列具有随机性；

　　②若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。

　　6、判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：

　　①若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；

　　②若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就不具有平稳性。

　　7、ARMA模型的自相关分析

　　AR(p)模型的偏自相关函数φ_kk是以p步截尾的，自相关函数拖尾。MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏自相关函数拖尾。这两个性质可以分别用来识别自回归模型和移动平均模型的阶数。ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。

　　1、单位根检验

　　①利用迪基—福勒检验（Dickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩荣检验（Philips-Perron Test）,也可以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法，与前者不同的事，后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白噪声，而且存在自相关的情况。

　　②随机游动

　　如果在一个随机过程中，y_t的每一次变化均来自于一个均值为零的独立同分布，即随机过程y_t满足：

　　其中ε_t独立同分布，并且：

　　称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。

　　③单位根过程

　　设随机过程y_t满足：其中ρ = 1，μ_t为一个平稳过程并且

　　2、协整关系

　　如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个现性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序列间就被称为有协整关系存在。这是一个很重要的概念，利用Engle-Granger两步协整检验法和Johansen协整检验法可以测定时间序列间的协整关系。