ARMA模型

ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）

　　ARMA 模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

　　1.自回归模型（AR：Auto-regressive）；

　　自回归模型AR(p)：如果时间序列y_t满足

　　其中ε_t是独立同分布的随机变量序列，且满足：

　　E(ε_t) = 0　　

　　则称时间序列为y_t服从p阶的自回归模型。或者记为φ(B)y_t = ε_t。

　　自回归模型的平稳条件：

　　滞后算子多项式的根均在单位圆外，即φ(B) = 0的根大于1。

　　2.移动平均模型（MA：Moving-Average）

　　移动平均模型MA(q):如果时间序列y_t满足

　　则称时间序列为y_t服从q阶移动平均模型；

　　移动平均模型平稳条件：任何条件下都平稳。

　　3.混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）

　　ARMA(p,q)模型：如果时间序列y_t满足：

　　则称时间序列为y_t服从(p,q)阶自回归滑动平均混合模型。或者记为φ(B)y_t = θ(B)ε_t

　　特殊情况：q=0，模型即为AR(p)，p=0，模型即为MA(q)，

　　将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，

　　其中Y是预测对象的观测值， e为误差。作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，

　　误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，

　　由此，获得ARMA模型表达式：