多元非线性回归分析

　　多元非线性回归分析是指包含两个以上变量的非线性回归模型。对多元非线性回归模型求解的传统做法，仍然是想办法把它转化成标准的线性形式的多元回归模型来处理。有些非线性回归模型，经过适当的数学变换，便能得到它的线性化的表达形式，但对另外一些非线性回归模型，仅仅做变量变换根本无济于事。属于前一情况的非线性回归模型，一般称为内蕴的线性回归，而后者则称之为内蕴的非线性回归。

　　如果自变数与依变数Y皆具非线性关系，或者有的为非线性有的为线性，则选用多元非线性回归方程是恰当的。例如，二元二次多项式回归方程为：

　　令,及于是上式化为五元一次线性回归方程：

　　这样以来，便可按多元线性回归分析的方法，计算各偏回归系数，建立二元二次多项式回归方程。

　　一、常见的内蕴多元性回归模型

　　只要对模型中的变量进行数学变换，比如自然对数变换等，就可以将其转化具有标准形式特征的多元线性回归模型。

　　1.多重弹性模型

　　是一组对的样本观察资料，则称存在下列关系的非线性回归模型为多重弹性模型

　　　　(1)

　　上述模型中的各解释变量的幂，能够说明解释变量的相对变化对被解释变量产生的相对影响，我们正式从这一角度说它是多重弹性模型的。

　　2.Cobb-Dauglas生产函数模型

　　　　(2)

　　其中，y_i表示产出总量，K_i为资本要素，L_i为劳动力要素，A、α、β为参数。比较式(1)和(2)，不难看出C-D生产函数模型实际是多重弹性模型的简化或特殊形式。

　　3.总成本函数模型

　　用y_i表示总成本，x_i表示产出规模，则称具有如下关系的回归模型为总成本函数模型

　　,i=1,2,…,n　　(3)

　　总成本函数是多项式函数的特殊形式，更为一般的情况就是多项式回归模型：

　　,i=1,2,…,n　　　(4)

　　多项式回归模型从宽松的角度讲，可以不把它看成是非线性回归模型，在这里主要是用来说明一下问题，把它看成内蕴的线性回归模型也无妨。

　　二、内蕴的非线性回归模型

　　内蕴非线性回归模型的形式有很多种，大部分难以根据经济含义进行称呼，下面，列出几个以帮助大家增加认识。

　　(1)CES生产函数模型

　　,i=1,2,…,n　　(5)

　　(2)随机项表现为加法的C-D生产函数模型

　　,i=1,2,…,n　　(6)

　　(3)其他形式的内蕴非线性函数模型，如

　　,i=1,2,…,n　　(7)

　　三、多元非线性回归模型的求解问题

　　对内蕴的线性回归模型，可以通过对模型中的变量或样本数据进行变换，将其转化成具有标准线性形式特征的回归模型，然后再运用前面介绍的模型估计方法进行估计，便能间接地达到目的。比如对于式(2)，它的变换过程为

　　对式(2)两边求对数

　　lny_i = lnA + αlnK_i + βlnL_i + ε_i

　　令,则得

　　,i=1,2,…,n

　　这是标准的二元线性回归问题，可据之估计出、α和β.