CES生产函数

CES生产函数(Constant Elasticity of Substitution)

　　CES生产函数是指替代弹性为常数的，CES生产函数首先由Solow提出的，经过实证检定，逐渐被应用。

　　CES生产函数为常替代弹性生产函数

　　Y = A(δ₁k ^{− ρ} + δ₂L ^{− ρ})^{1 / ρ}　　　　(1)

　　的简称, 这是因为式(1)所表示的生产函数的替代弹性

　　σ = 1 / (1 + ρ)为常数。

　　在经济理论中,生产函数Y=F(K,L)应满足:对任意的K、L有，Y(0,L)=Y(K,0)=0。

　　有些生产函数例如C－D函数

　　Y = AK^αL^β,则由其函数表达式自然满足Y(0,L)=Y(K,0)=0,即为默认。

　　在研究CES生产函数时, 必须同时准确地给出其使用条件:

　　其中K>O 且L>0。

　　由以上讨论,我们首先给出CES生产函数(l)的定义域为

　　对于固定的L>0,由(1)式可得人均产出函数

　　记为y=f(k)　　　　(2)

　　这里k=K/L表示人均资本(或称劳动装备)。

　　对(2)求导,得

　　　　　　(3)

　　显然,当k>0且L>O时,有

　　性质1，人均CES生产函数(2)在其定义域内,恒有

　　f(k)>0

　　再对(3)式求导，得

　　　　　　(4)

　　由此又有

　　性质2，人均CES生产函数(2)在其定义域内,恒有

　　f(k)<0

　　由性质1、性质2知,人均CES生产函数(2)为凹函数。

　　性质1的经济意义为:边际产出大于零,即资本k每增加一个单位,则产出y增加

　　个单位

　　性质2说明人均CES生产函数从经济上来说是规模递减的,即随资本k的增加,边际产出递增的速度下降。

　　假设考虑三种生产要素的CES函数,即固定资本品K₁、中间消耗品K₂和劳动力L,并假设劳动力L在考察期内不变,即具有以下的生产函数形式:

　　　　　　（5）

　　在封闭的经济中第t+1年固定资本品投人来源于第t年的剩余和第t年产出的再投入部分,比例为σ₁,第t+1年中间消耗来源于第t年产出的投人,比例为σ₂,第t年消费均来自当年的产出扣除下一年的再投人部分。

　　假设折旧率为μ,整个社会的消费记为C(t),人均消费记为c(t),如上两边同除L,人均化后即有:

　　　　　　(6)

　　且有如下关系:

　　k₁(t + 1) = k₁(t) − μk₁(t) + σ₁y(t)

　　k₂(t + 1) = σ₂y(t)　　　　　　　　　　　　(7)

　　c(t) = (1 − σ₁ − σ₂)y(t)

　　取考察期内的人均消费的效用达到最大化,我们建立的模型如下:

　　k₁(t + 1) = k₁(t) − μk₁(t) + σ₁y(t)　　　　　　　　　　(8)

　　c(t) = (1 − σ₁ − σ₂)y(t),0 < δ_i < 1,i = 1,2;0 < μ < 1

　　把状态方程(7)连续化得到:

　　　　　　(9)

　　对系统(9),均衡时由,解得惟一的正均衡点满足：

　　 ,　　　　(10)

　　把它们带人生产函数的表达式中得到：

　　可解得在均衡点处有：

　　　　　　(11)

　　再把它带人式(10)中就有:

　　我们可以得到在均衡点的导系数矩阵为

　　容易得到其特征方程为:

　　根据根与系数的关系, 我们很容易得到:

　　(1)若ρ² >4q>0,且ρ>0,则λ₁,λ₂>0,即下列条件成立：

　　μ − δ₁μ^{1 − ρ}(Aσ₁)^ρ − μδ₂(Aσ₂)^ρ > 0

　　δ₁μ^{1 − ρ}(Aσ₁)ρ + δ₂(Aσ₂)^ρ − (μ + 1) > 0

　　上述两式相加可得到。此时系统均衡点是不稳定结。

　　而当ρ < 0,则λ₁,λ₂<0,亦即下列条件成立:

　　2μ + 1 > 2δ₁μ^{1 − ρ}(Aσ₁)^ρ + (1 + μ)δ₂(Aσ₂)^ρ

　　此时系统均衡点是稳定结点。

　　(2)若ρ²<4q ,当Re(λ) > 0时,系统均衡点是不稳定结点。而当Re(λ) < 0时,系统均衡点是稳定结点。

　　(3)若ρ < 0,则一个根为正,另一个根为负,即下列条件成立:

　　1 < δ₁μ ^{− ρ}(Aσ₁)^ρ + δ₂(Aσ₂)^ρ

　　此时均衡点为鞍点。有一枝分界线趋于均衡点E,这就是经济学中所说的:只有惟一的最佳路径稳定地趋于均衡点E。而另一枝分界线则离开均衡点E。其余的轨线均从“最佳路径”饶过均衡点而靠近另一枝分界线。亦即其相图犹如马鞍状。

　　(4)若ρ = 0,即下列条件成立:μ = δ₁μ^{1 − ρ}(Aσ₁)^ρ − μδ₂(Aσ₂)^ρ，则此时系统均衡点为高阶的,我们不做研究。