均匀设计

均匀设计（Uniform Design）

　　均匀设计（Uniform Design）是一种试验设计方法（Experimental Design Method），称为均匀设计（Uniform Design）或均匀设计试验法（Uniform Design Experimentation）,或空间填充设计。

　　所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，均匀设计也不例外，它是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。它由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。

　　均匀设计是继60年代华罗庚教授倡导、普及的优选法和我国数理统计学者在国内普及推广的正交法之后，于70年代末应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数学模型、并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院应用数学所方开泰教授和王元教授提出的一种试验设计方法。均匀设计是统计试验设计的方法之一，它与其它的许多试验设计方法，如正交设计、最优设计、旋转设计、稳健设计和贝叶斯设计等相辅相成。

　　我们知道，试验设计就是如何在试验域内最有效地选择试验点，通过试验得到响应的观测值，然后进行数据分析求得达到最优响应值的试验条件。因此，试验设计的目标，就是要用最少的试验取得关于系统的尽可能充分的信息。均匀设计即可以较好地实现这一目标，尤其对多因素、多水平的试验。

　　均匀设计的数学原理是数论中的一致分布理论，此方法借鉴了“近似分析中的数论方法”这一领域的研究成果，将数论和多元统计相结合，是属于伪蒙特卡罗方法的范畴。均匀设计只考虑试验点在试验范围内均匀散布，挑选试验代表点的出发点是“均匀分散”，而不考虑“整齐可比”，它可保证试验点具有均匀分布的统计特性，可使每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验，任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。它着重在试验范围内考虑试验点均匀散布以求通过最少的试验来获得最多的信息，因而其试验次数比正交设计明显的减少，使均匀设计特别适合于多因素多水平的试验和系统模型完全未知的情况。例如，当试验中有m个因素，每个因素有n个水平时，如果进行全面试验，共有n^m种组合，正交设计是从这些组合中挑选出n²个试验，而均匀设计是利用数论中的一致分布理论选取n个点试验，而且应用数论方法使试验点在积分范围内散布得十分均匀，并使分布点离被积函数的各种值充分接近，因此便于计算机统计建模。如某项试验影响因素有5个，水平数为1O个，则全面试验次数为10⁵次，即做十万次试验；正交设计是做10²次，即做100次试验；而均匀设计只做10次，可见其优越性非常突出。

　　均匀设计是通过一套精心设计的表来进行试验设计的，对于每一个均匀设计表都有一个使用表，可指导如何从均匀设计表中选用适当的列来安排试验。均匀设计分会还编制了一套软件《均匀设计与统计调优软件包》供试验设计和数据处理、分析使用，非常方便。均匀设计法的试验数据分析要用到回归分析方法，例如线性回归模型、二次回归模型、非线性回归模型，以及各种选择回归变点的方法，也有利用多元样条函数技术、小波理论、人工神经网络模型应用于试验设计和数据分析。具体选择何种模型要根据实际试验的具体性质来确定。利用回归分析得出的模型，即可进行影响因素的重要性分析及新条件试验的结果估算，预报和最优化。

　　近几年来，均匀设计理论研究突飞猛进，对均匀设计和其它试验设计的关联和结合，如与正交设计进行了均匀性、最优性比较研究，得出在大多数情况下，特别是模型比较复杂时，均匀设计试验次数少、均匀性好，并对非线性模型有较好的估计。对线性模型，均匀设计有较好的均匀性和较少的试验次数，正交设计有较好的估计。虽然均匀设计失去了正交设计的整齐可比性，但在选点方面比正交设计有更大的灵活性，也就是说，它更加注重了均匀性．利用均匀设计可以选到偏差更小的点，更重要的是，试验次数由10⁸减少到n，从而在实践中大大降低了成本。从经济和优化两个角度衡量，均匀设计确实有其优越性。实践中若水平数多，因素多而要求试验次数少的设计，一般用均匀设计来安排试验；对于因素数，水平数不多，一般采用正交设计。有时，可以将正交设计和均匀设计结合起来使用。

　　有论文对均匀设计经济效益评估数理模型进行了探讨，并与全面试验、正交设计作了比较。也有论文对均匀设计的优良性进行了研究，指出还有待进一步发掘，对均匀性本身也还有很多数学背景值得进一步研究。也有论文认为利用模糊理论与均匀设计结合，建立模糊集台数据群，再通过因素与水平选择，建立模糊模拟均匀设计表，进行数据统计分析、调优，反向推断。这种模糊理论—— 均匀设计——统计调优的有机结合对某些项目的反设计会有广阔的应用前景。对应用中的一些问题，如因素与水平的选择 模型的建立提出了很好的建议，指出一个试验成功的关键在于选择合适的因素和有关的试验范围，如果重要的因素没有选人试验，则试验效果将大受影响，甚至失败，因而在不增加试验数目的前提下，尽可能多选出一些因素，通过试验来筛选}并采用多水平试验以获得因素和响应之间较为丰富的关系，否则因素主效应和交互效应将会混杂，不能估出，直接影响试验的效果。对模型未知(包括部分模型已知)时，应进行适当的重复试验有助于模型识别，尤其当随机误差很大时，没有适当的重复试验，很难得到可靠的结论．从应用的角度，对理论研究也提出了新的需求，希望能设计出水平数更多的均匀设计表。

　　1.试验次数大大减少。例如某化工试验，欲找出最优产量或其它优化目标条件。试验因素3个，每因素在取值范围内均有7个试验点。

• 采用优选法：对多因素同时选优的试验，不适用。
• 采用正交法：需做49次试验，方可找出最优产量或其它优化目标条件。
• 采用均匀设计：只需做7次试验即可。

　　2.自动将各试验因素分类为重要与次要，并将因素按重要性排序。

　　3.过程数字化，通过电脑对结果与因素条件进行界定与预报（如天气预报），进而控制各因素。

　　１、明确试验目的, 确定试验指标。若考察的指标有多个则一般需要对指标进行综合分析;

　　２、选择试验因素。根据专业知识和实际经验进行试验因素的选择, 一般选择对试验指标影响较大的因素进行试验;

　　３、确定因素水平。根据试验条件和以往的实践经验, 首先确定各因素的取值范围, 然后在此范围内设置适当的水平;

　　４、选择均匀设计表, 排布因素水平。根据因素数、水平数来选择合适的均匀设计表进行因素水平数据排布;

　　５、明确试验方案, 进行试验操作;

　　６、试验结果分析。建议采用回归分析方法对试验结果进行分析进而发现优化的试验条件。依试验目的和支持条件的不同也可采用直接观察法取得最好的试验条件(不再进行数据的分析处理);

　　７、优化条件的试验验证。通过回归分析方法计算得出的优化试验条件一般需要进行优化试验条件的实际试验验证(可进一步修正回归模型);

　　８、缩小试验范围进行更精确的试验, 寻找更好的试验条件, 直至达到试验目的为止。

　　１、当所研究的因素和水平数目较多时, 均匀设计试验法比其它试验设计方法所需的试验次数更少, 但不可过分追求少的试验次数, 除非有很好的前期工作基础和丰富的经验, 否则不要企图通过做很少的试验就可达到试验目的, 因为试验结果的处理一般需要采用回归分析方法完成, 过少的试验次数很可能导致无法建立有效的模型, 也就不能对问题进行深入的分析和研究, 最终使试验和研究停留在表面化的水平上(无法建立有效的模型, 只能采用直接观察法选择最佳结果)。一般情况下, 建议试验的次数取因素数的３～５倍为好;

　　２、优先选用表进行试验设计。通常情况下表的均匀性要好于U_n表, 其试验点布点均匀, 代表性强, 更容易揭示出试验的规律, 而且在各因素水平序号和实际水平值顺序一致的情况还可避免因各因素最大水平值相遇所带来的试验过于剧烈或过于缓慢而无法控制的问题;

　　３、对于所确定的优化试验条件的评价, 一方面要看此条件下指标结果的好坏, 另一方面要考虑试验条件是否合理可行的问题, 要权衡利弊, 力求达到用最小的付出获取最大收益的效果。

　　回顾几十多年来均匀设计法的诞生、发展和广泛应用，有如下几个鲜明的特点：

　　(1)均匀设计法的诞生是应国防科研实践的需求，由我国科学家潜心研究、开发的，其来自于实践，又应用于实践，实践促进研究，研究又进一步指导实践，理论研究与实践应用相辅相成，互为依存、互相促进，创造更大效益；

　　(2)均匀设计法的创立和实际应用的意义，钱学森、朱光亚等老一辈科学家以其敏锐的科学目光和判断，给予了高度评价，同时也得到了原国防科工委领导的重视和支持．专家和领导的支持、重视是一项新技术快速发展的必不可少的重要条件；

　　(3)1994年成立了中国数学会均匀设计分会，原国防科工委将均匀设计法的推广应用纳入“八五”国防科技成果重点项目推广计划，有力地推动了均匀设计法的发展；

　　(4)均匀设计法的理论研究和推广应用也得益于各部门领导的支持以及专家与广大科技工作者科学求实、积极不懈地努力；

　　(5)学会与各地区、各部门相结合，开发均匀设计软件、摄制推广录像片、进行技术培训和学术交流，推动了均匀设计法的理论研究和应用实践。

　　均匀设计正是由于上述的理论与实践结合、领导与群众结台、专家与广大科技工作者结合、行政组织与学会结台，不断发展、完善，不断拓展新的应用领域，为增强我国的经济实力和国防科技的发展做出了很大贡献。今后，应进一步发挥学会组织和各地区、各部门的力量，调动各方面的积极性，充分利用互联网的优势，相互支持、密切协同，有组织、有计划地使均匀设计的理论研究与实践应用取得更大的发展，为国民经济和国防现代化做出更大的贡献。

　　在均匀设计方法出现以前，正交设计已经在工农业生产中广泛应用，并取得良好效果。基于推广均匀设计方法的考虑，作为一种新的试验设计方法，人们自然而然地会拿正交设计与均匀设计相比较。通过与正交设计进行均匀性、最优性的比较发现：

　　(1)在试验数相同情况下均匀设计的均匀性比正交设计好得多，在大多数情况下，特别是模型比较复杂时，均匀设计方法的试验次数少、均匀性好，并对非线性模型有较好的估计。对线性模型均匀设计有较好的均匀性和较少的试验次数。

　　(2)水平数相同或偏差相近时，均匀设计的试验次数相对于正交设计有绝对优势。虽然均匀设计失去了正交设计的整齐可比性，但在选点方面比正交设计具有更大的灵活性，也就是说，它更加注重了均匀性，利用均匀设计的均匀分散性可以选到偏差更小的点；更重要的是，试验次数由n2减少到n。因此均匀设计的试验次数随水平增加有连续性，而正交设计有“跳跃性”，从而在实践中大大降低了成本，适合于多因素多水平试验。

　　(3)正交设计的数据分析程式简单，且直观分析可以给出试验指标随每个水平变化的规律；均匀设计的数据可用回归分析、最优化和关联度分析等方法来处理一般要用计算机。有时也可以根据优化原则从试验点中挑选一个最优指标，虽然粗糙但却非常有效适合于缺少计算工具的情况。

　　均匀设计的这些特点使它适合于岩土工程领域。首先，岩土工程中存在大量的非线性关系；其次对模型未知的工程问题，可以利用均匀设计方法进行优化设计。

　　近年来，随着均匀设计理论的日趋成熟，均匀设计方法逐渐被岩土工程领域的研究人员采用，如进行计算机试验设计、反分析、配料设计、参数优化等研究。以下通过三峡永久船闸高边坡岩体力学参数三维位移反分析来说明均匀设计方法在岩土工程领域的应用。

　　1.计算条件

　　计算区域包括三峡永久船闸二、三闸室，区域内有全强风化、弱风化、微新岩体及F₂₁₅，f₅断层。主要反演卸荷变形区和损伤松动区的粘聚力c、摩擦系数f与弹性模量E，其他区域介质的c，f，E与地应力场不参与反演。反演的初始数据为进入闸室开挖以后的几个阶段开挖引起的位移增量。通过模拟边坡施工过程，分11步开挖进行反演分析。

　　2.样本构造

　　根据历年来在三峡船闸区的试验资料和二维反演分析结果将微新岩体损伤松动区和卸荷变形区的弹性模量E及其强度参数(f,c)考虑为均匀试验设计的6个因素，取值范围见表1。在样本试验阶段，将每个参数区间等分为10个水平，查均匀设计表(10⁸)得正分析的参数组合方案(下表)。第二个表中列出了不参与反演的岩体物理力学参数。

　　3.反分析目标函数

　　用优化方法进行位移反分析的实质就是寻找一组待反演的参数使与其相应的位移值与实测位移值逼近的方法。对于实际工程的设计和施工来说，这种逼近追求的是总体上的最优效果，因此，目标函数通常取为以下形式：

　　　　(1)

　　或类似的形式

　　式中：x_m为待反演的岩体参数，如弹性摸量E、粘聚力c、摩擦系数f等；m为待反演的岩体参数个数；f_i(X)为岩体在第i个量测点上发生的位移量的计算值，u_i为相应的位移量的实测值；n为位移量测点的总数。

　　4.反演分析结果

　　为了反演分析的需要均取进入闸室开挖以后至闸底的观测时段的位移增量。用于反演的测点有剖面13-13的TP/BM46GP01，TP/BM47GP01、TP/BM49GP01，TP/BM67GP01；剖面17-17的TP/BM27GP02，TP/BM28GP02，TP/BM29GP02，TP/BM98GP02，TP/BM10GP01，TP/BM11GP01，TP/BM71GP01；和剖面20-20的TP/BM13GP01，TP/BM14GP01，TP/BM72GP01，TP/BM34GP02，TP/BM36GP02，TP/BM99GP02共17个测点。

　　对于均匀设计试验方案表中每一组试验组合，作正分析计算将以上17个测点处的x方向(垂直于船闸轴线的水平方向)位移计算值和实测值代入式(1)得10个计算方案的目标函数值如下图；由此分析得到的岩体参数见下表。

　　5.反演参数正分析

　　用反演得出的参数正向计算出的位移和主要测点实测位移值的比较见下图，从下图看，结果是较令人满意的。