采样定理

目录

  • 1 什么是采样定理
  • 2 采样简介
  • 3 混叠
  • 4 减采样

什么是采样定理

  所谓采样定理,又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E.T.Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外,V.A.Kotelnikov也对这个定理做了重要贡献。

  采样是将一个信号(即时间或空间上的连续函数)转换成一个数值序列(即时间或空间上的离散函数)。采样定理指出,如果信号是带限的,并且采样频率高于信号带宽的两倍,那么,原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

  带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制,也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指,如果信号带宽不到采样频率的一半(即奈奎斯特频率),那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠,混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样简介

  从信号处理的角度来看,此采样定理描述了两个过程:其一是采样,这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号;其二是信号的重建,这一过程离散信号还原成连续信号。

  连续信号在时间(或空间)上以某种方式变化着,而采样过程则是在时间(或空间)上,以T为单位间隔来测量连续信号的值。T称为采样间隔。在实际中,如果信号是时间的函数,通常他们的采样间隔都很小,一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字,称为样本。样本代表了原来地信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点,而采样间隔的倒数,1/T即为采样频率,fs,其单位为样本/秒,即赫兹(hertz)。

  信号的重建是对样本进行插值的过程,即,从离散的样本x[n]中,用数学的方法确定连续信号x(t)。

混叠

  如果不能满足上述采样条件,采样后信号的频率就会重叠,即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠,而重建出来的信号称为原信号的混叠替身,因为这两个信号有同样的样本值

  一个频率正好是采样频率一半的弦波信号,通常会混叠成另一相同频率的波弦信号,但它的相位和幅度改变了

  抗混叠滤波器可限制信号的带宽,使之满足采样定理的条件。从理论上来说,这是可行的,但是在实际情况中是不可能做到的。因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号,所以,采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小,以至可忽略不计。

减采样

  当一个信号被减采样时,必须满足采样定理以避免混叠。为了满足采样定理的要求,信号在进行减采样操作前,必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。这个用于避免混叠的低通滤波器,称为抗混叠滤波器。

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