超模博弈

超模博弈(Supermodular Game)

　　超模博弈是博弈论中另一个重要的概念，在超模博弈中，每个参与者增加其策略所引起的边际效用随着对手策略的递增而增加。博弈里最优反应的对应是递增的，所以参与者的策略是“策略互补的”。当有两个参与者时，对变量进行变化以后还可以用这个框架来分析递减的最优反应的情形(即策略替代)。超模博弈的定义是：对于参与者vj#i∈N，都满足：

　　≥0

　　数学上已经证明，超模博弈拥有纳什均衡且纳什均衡点唯一。

　　超模博弈理论最早由Topkis(1978)创立，它建立在格子规划的基础之上，为分析具有互补策略的博弈提供了一个一般的方法。具有互补策略的博弈是指博弈中参与人的最优反应对应关于对手的策略递增，从而参与人的策略体现出一定的互补性。由于超模博弈理论建立在格子理论的基础之上，因而它不需要传统最优化理论中的凸性及可微性假设，而只需要策略空间的一定的序结构及目标函数的一定的弱连续性和单调性。更重要的是这种博弈具有很好的性质，它具有纯策略的Nash均衡，并且Nash均衡集也具有一定的序结构。超模博弈理论首先被Vives(1985，1990)及Milgrom和Roberts(1990)发展：Vives给出了超模博弈中Nash均衡的存在性及序结构；Milgrom等广泛分析了超模博弈在经济学中的具体应用，指出超模博弈中纯策略的Nash均衡集，相关均衡集及可理性化均衡集具有相同的边界，且这些边界关于外生参数单调。Milgrom和Shannon(1994)将以前关于基数超模博弈的概念发展到序数超模博弈，并研究了序数超模博弈中的比较静态分析(文中所提到的超模博弈如不特别指明都指基数超模博弈)。Athey(2001)运用超模博弈理论分别研究了不完全信息博弈及多期动态投资博弈中纯策略均衡的特性]。Echenique(2003)研究了具有互补策略博弈的混合策略均衡及扩展式博弈中的均衡。Echenique(2004)一反以往的研究逻辑，探讨了在允许按照某种规则对博弈的均衡进行排序的情况下博弈成为策略互补的条件。索洪敏(2006)研究了有序Banach空间上超模博弈的Nash均衡的存在性。

　　一个集合S若对于其中任意两个元素x和y，和y的上下确界都在S中，其中上确界记为xy，而下确界记xy，则称S为格子。从格子S到实数R上的函数f，，即f：SR，若对于，都有f(x)+f(y)≤f(xy)+f(xy)，则称，则称f(x)为S上的超模函数。若logf(x)为超模的，则称f(x)为对数超模的。超模函数在工程、经济等方面都有着广泛的应用。目标函数的超模性在经济上代表着互补的投入。这里我们所指的超模性是基数超模，因为函数的值域为实数R。与基数超模性相对应的有序数超模性，即拟超模。若S₁为一个格子，而S₂为一个偏序集，函数若满足：对于S₁中任意的x'及x，只要f(x' x)<f(x')，就有f(x)<f(x'x)，则称函数f(x)为S₁上的拟超模函数(文中所有的顺序关系都为对应集合中的顺序关系)。很显然如果一个函数为超模的，则它必定为拟超模的。拟超模是超模概念的序数推广，它只要求函数的值域为一般的偏序集，因而在经济学中有着更广泛的应用。

　　与变量之间的互补性相对应的另外一个重要概念是增差。S₁与S₂是两个格子，函数f：S₁×R若满足，对S₁中任意的x及x'，其中x≥x',S₂中任意的y，都有f(x，y)一f(x'，y)关于y递增，则称函数f(x，y)在(x，y)具有增差。在一个博弈中，如果3x代表某一个参与人的策略，y代表另一个参与人的策略，而f(x，y)代表第一个参与人的支付函数，则f(x，y)在(x，y)具有增差意味着参与人之问策略的互补性，即当第二个参与人增加他的行动变量时，第一个参与人也会增加他的行动变量。

　　由于文中所讨论的博弈的策略空间为连续的，所以规定实数R上的顺序关系为通常的序关系，而对于维欧氏空间中的向量x=(x₁,...,x_n)与y=(y₁,...,y_n)，x≥y等价于x_i≥y_i，其中i=1,...,n.。另外由于目标函数一般为光滑的，所以有些定理为原始定理的特殊情况。函数的超模与增差在经济上都代表着互补性，如下的引理给出了它们之间的关系(引理的证明请参照相应的参考文献)。

　　引理2.1：Rⁿ上的函数f为超模的充要条件为f在Rⁿ上具有增差(其中在多个变量上具有增差是指在任意两个变量对上具有增差)。

　　对于欧氏空间中的光滑函数，关于函数的超模与增差有如下结论。

　　引理2.2：设I=[x,x]为Rⁿ中的区间，若函数f：R在包含I的某个开区间上二次连续可微，则f在I上为超模函数的充要条件为，i≠j,

　　≥0。

　　由此可以看到对于常见的二次可微函数，超模性的要求非常简单，它只要求交叉偏导非负，对于二阶偏导没有任何要求，也不需要函数的凹性。对应于欧氏空间中可微的支付函数，下面给出光滑的超模博弈的概念。

　　博弈Γ={N，S_n,f_n}，其中S_n∈，若满足下面四个条件

　　1)S_n为中的闭区间。

　　2)f_n在S_n上二次连续可微。

　　3)f_n在S_n上超模，即≥0，其在i≠j,1≤i，j≤n。

　　4)f_n在(S_n,S_m)上增差，即≥0，其中m≠n，1≤i≤k，1≤≤k。

　　则称为光滑的超模博弈。

　　以下关于超模博弈中纯策略Nash均衡的存在性及单调性定理为超模博弈理论的基础。它不仅保证了超模博弈中纯策略Nash均衡的存在性，还保证了极值均衡的存在性。

　　引理2.3：若Γ为一个超模博弈，则纯策略的Nash均衡存在，且对于策略空间上给定的序结构，最大最小的纯策略Nash均衡存在。