赫斯特指数

赫斯特指数（Hurst exponent）

　　基于重标极差(R/S)分析方法基础上的赫斯特指数(H)的研究是由英国水文专家H．E．Hurst(1900—1978)在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系时，发现用有偏的随机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期存贮能力，并在此基础上提出了用重标极差(R/S)分析方法来建立赫斯特指数(H)，作为判断时间序列数据遵从随机游走还是有偏的随机游走过程的指标。

　　赫斯特指数的思路是：设X_i = X₁,…X_n为一时间序列的n个连续值，取对数并进行一次差分后的数据划分为长度为H的相邻的子区间A，即A*H=n。

　　则：

　　每个子区间的均值为：

　　X_m = (X₁ + … + X_h)/H

　　标准差为：

　　均值的累积横距(XKA)为：

　　组内极差为：

　　R_h = max(X_r,A)-mix(X_r,A)

　　赫斯特指数(H)为：

　　Hurst推出的关系为：

　　其中c为常数，n为观察值的个数，H为赫斯特指数。

　　赫斯特指数有三种形式：

　　1．如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述；

　　2．如果0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性)即暗示长期记忆的时间序列；

　　3．如果0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性)即均值回复过程。

　　也就是说，只要H ≠0.5，就可以用有偏的布朗运动(分形布朗运动)来描述该时间序列数据。

　　V统计量是一个和赫斯特指数有关的指标是，它被定义为：

　　如果确定时间序列为长期记忆过程(即计算得出的赫斯特指数为0.5 <H≤1)，则说明赫斯特指数的结果依赖于数据排列的顺序，打乱数据的顺序并以此重新计算赫斯特指数必然小于没有打乱的数据计算的赫斯特指数。而且如果V统计量呈趋势向上(有正斜率)则表明0.5<1。反之亦然。