误差修正模型

　　误差修正模型（Error Correction Model）

　　对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。

　　如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X）之间的回归模型：

　　Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t

如果Y与X具有共同的向上或向下的变化趋势,进行差分，X,Y成为平稳序列，建立差分回归模型得：

　　ΔY_t = α₁ΔX_t + v_t 式中，v_t = μ_t − μ_{t − 1} 　　 　　然而，这种做法会引起两个问题： (1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系 Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t 且误差项μ_t不存在序列相关，则差分式 ΔY_t = α₁ΔX_t + v_t 中的v_t是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的；(2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这时模型只表达了X与Y间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系。

　　因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。 另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。

例如，使用ΔY₁ = ΔX_t + v_t 回归时，很少出现截距项显著为零的情况，即我们常常会得到如下形式的方程： 式中， （1）

　　在X保持不变时，如果模型存在静态均衡（static equilibrium），Y也会保持它的长期均衡值不变。

　　但如果使用（1）式，即使X保持不变，Y也会处于长期上升或下降的过程中，这意味着X与Y间不存在静态均衡。这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因此，误差修正模型便应运而生。

　　误差修正模型（Error Correction Model，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。

为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。

　　假设两变量X与Y的长期均衡关系为:

　　Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t 　　(2)

　　由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式

　　(3)

该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。

　　由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。对(3)式适当变形得： 　　(4)

式中，λ = 1 − μ，，

　　如果将（4）中的参数α₀，α₁与Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t中的相应参数视为相等，则（4）式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。

　　（4）式表明：Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。同时，（4）式也弥补了简单差分模型ΔY₁ = ΔX_t + v_t的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出了修正。(4)式称为一阶误差修正模型(first-order error correction model)。

　　（4）式可以写成：

其中:ecm表示误差修正项。由分布滞后模型知：一般情况下|μ|<1 ，由关系式μ得0<λ<1。可以据此分析ecm的修正作用：

　　(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解α₀ + α₁X，ecm为正，则(-λecm)为负，使得ΔY_t减少；

　　(2)若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解α₀ + α₁X，ecm为负，则(-λecm)为正，使得ΔY_t增大。

　　体现了长期非均衡误差对Y_t的控制。

需要注意的是：在实际分析中，变量常以对数的形式出现。

　　其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的变化率，而经济变量的变化率常常是稳定序列，因此适合于包含在经典回归方程中。

于是:

(1)长期均衡模型

Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t

中的α₁可视为Y关于X的长期弹性（long-run elasticity）

(2)短期非均衡模型

中的β₁可视为Y关于X的短期弹性（short-run elasticity）。

更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类似地建立。

　　（1）Granger 表述定理

　　误差修正模型有许多明显的优点：如 a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题； b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题； c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视； d）由于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取。

因此，一个重要的问题就是：是否变量间的关系都可以通过误差修正模型来表述？

就此问题，Engle 与 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理（Granger representaion theorem）：

如果变量X与Y是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述：

ΔY_t = lagged(ΔY,ΔX) − λμ_{t − 1} + ε_t

式中，μ_{t − 1}是非均衡误差项或者说成是长期均衡偏差项， λ是短期调整参数。

对于(1,1)阶自回归分布滞后模型

如果 Yt~I(1), Xt~I(1)  ; 那么 的左边ΔY_t~I(0) ，右边的ΔX_t ~I(0) ，因此，只有Y与X协整，才能保证右边也是I(0)。

因此，建立误差修正模型，需要

首先对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正项。 然后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。

（2）Engle-Granger两步法

由协整与误差修正模型的的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G两步法： 第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）； 第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。 需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。 另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。

（3）直接估计法

也可以采用打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS法估计模型。 但仍需事先对变量间的协整关系进行检验。

如对双变量误差修正模型

可打开非均衡误差项的括号直接估计下式：

这时短期弹性与长期弹性可一并获得。 需注意的是，用不同方法建立的误差修正模型结果也往往不一样。