突变级数法

突变级数法(Catastrophe Progression Method )

　　突变级数法是一种对评价目标进行多层次矛盾分解，然后利用突变理论与模糊数学相结合产生突变模糊隶属函数，再由归一公式进行综合量化运算，最后归一为一个参数，即求出总的隶属函数，从而对评价目标进行排序分析的一种综合评价方法。

　　该方法的特点是没有对指标采用权重，但它考虑了各评价指标的相对重要性，从而减少了主观性又不失科学性、合理性，而且计算简易准确，其应用范围广泛。

　　1、根据评价目的，对评价总指标进行多层次分解，排列成倒立树状目标层次结构，原始数据只需要知道最下层子指标的数据就可以了。因为一般突变系数某状态变量的控制变量不超过4个，所以，相应地一般各层指标（单指标的子指标）分解不要超过4个。

　　2、确定突变评价指标体系的突变系统类型。突变系统类型一共有7个，最常见的有3个，即尖点突变系统、燕尾突变系统和蝴蝶突变系统。

　　尖点突变系统模型为：f（x）＝x[4]＋ax[2]＋bx

　　燕尾突变系统模型为：f（x）＝（（1/5）x[5]）＋（（1/3）ax[3]）＋（（1/2）bx[2]）＋cx

　　蝴蝶突变系统模型为：f（x）＝（（1/6）x[6]）＋（（1/4）ax[4]）＋（（1/3）bx[3]） ＋（（1/2）cx[2]）＋dx

　　上面f（x）表示一个系统的一个状态变量x的势函数，状态变量x的系数 a、b、 c、d表示该状态变量的控制变量。若一个指标仅分解为两个子指标，该系统可视为尖点突变系统；若一个指标可分解为三个子指标，该系统可视为燕尾突变系统；若一个指标能分解为四个子指标，该系统可视为蝴蝶突变系统。

　　3、由突变系统的分叉方程导出归一公式。根据突变理论，尖点突变系统归一公式为：x[，a]＝a[1/2]，xb＝b[1/3]，式中x[，a]表示对应a的x值，x[，b]表示对应b的x值。

　　燕尾突变系统的归一公式为：x[，a]＝a[1/2]，x[，b]＝b[1/3]，x[，c] ＝c[1/4]

　　蝴蝶突变系统的归一公式为：x[，a]＝a[1/2]，x[，b]＝b[1/3]，x[，c]＝c[1/4]，x[，d]＝d[1/5]

　　在这里，归一公式实质上是一种多维模糊隶属函数。

　　4、利用归一公式进行综合评价。根据多目标模糊决策理论，对同一方案，在多种目标情况下，如设A[，1]，A[，2]，……，A[，m]为模糊目标，则理想的策略为： C=A[，1]IA[，2]I……A[，m]，其隶属函数为：μ（x）＝μ[，A1]（x）∧μ[，A2]（x）∧……μ[，Am]（x），式中μ[， A]（x）μA[，1]（x）为A[，1]的隶属函数，定义为此方案的隶属函数，即为各目标隶属函数的最小值。

　　对于不同的方案，如设G[，1]，G[，2]，……，G[，n]，记G[，i]的隶属函数为u（G[，i]），则表示方案G[，i]优于方案G[，j]。因而利用归一公式对同一对象各个控制变量（即指标）计算出的对应的X值应采用“大中取小”原则，但对存在互补性的指标，通常用其平均数代替，在对象的最后比较时要用“小中取大”原则，即对评价对象按总评价指标的得分大小排序。由此可以看出，对各级指标指数的确定，实际上是对其下一级指标指数（或数值）进行综合排序的结果。