泊松过程

泊松过程(Poisson process)

　　泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。

　　泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。我们说一个 随机过程 N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：

　　在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。

　　在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：

　　其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) − N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。

　　更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得

　　在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。

　　在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。）

　　考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T₁。此外，对于n>1，以T_n记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。序列{T_n,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。

　　 T_n(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。