帕累托分布

帕累托分布（Pareto distributions）

　　帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。 是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。

　　帕累托因对意大利20%的人口拥有80%的财产的观察而著名，后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则（80/20法则），后来进一步概括为帕累托分布的概念。

　　19世纪末期，意大利经济学家维弗雷多·帕累托认为，贫与富的存在，既是经济问题，也有政治原因。

　　帕累托在研究英国人的收入分配问题时发现，绝大部分社会财富最终总会流向少数人群；他还发现，某一部分人口占总人口的比例，与这一部分人所拥有的财富的份额具有比较确定的计量经济关系；进一步的研究证实，这种不平衡模式可以重复出现，甚至可以预测。经济学把这一社会财富的分布状态，称为“帕累托分布”。

　　帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述：通过市场交易，20%的人将占有80%的社会财富，如果交易可以不断进行下去，那么，“在因和果、努力和收获之间，普遍存在着不平衡关系，典型的情况是：80%的收获来自20%的努力；其他 80%的力气只带来20%的结果”。丹尼尔·贝尔在《帕累托分布与收入最大化》中进一步叙述到：“如果待分配的财富总量是100万元，人数为100人，那么我们会有这样一组对应的分配比例：排在前面的20个人，分得80万元；同理，这20人中的4个人，分得64万元；4个人中的1个人，分得50万元。”

　　如果我们把这些数据用数学公式简单处理一下，就会显示一条收缩中的“财富曲线”以及一条发散中的“贫困曲线”。它的最终走向，是必然会“清零”的，也只有如此，“财富”中所包含的生产力因子才能重新释放出来。

　　帕累托分布从经济学角度论证出，社会分配的“绝对的失衡”必然导致“绝对的贫困”，甚至导致“宗教末日审判”的来临，除非我们可以通过政治手段，人为地阻止财富向高端不断聚集，否则，贫富双方的利益冲突是不可避免的。

　　图：帕累托分布 (x_min=1)

　　在帕累托分布中，如果X是一个随机变量， 则X的概率分布如下面的公式所示：

　　其中x是任何一个大于x_min的数，x_min是X最小的可能值（正数），k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：x_min和k。分布密度则为

　　帕累托分布属于连续概率分布。

　　“吉普夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。 一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为 (如果 , 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为 (如果 , 标准差不存在)。

被认为大致是帕累托分布的例子有：

• 在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之前，财富在个人之间的分布。
• 甚至在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之后，财富在个人之间的分布。
• 人类居住区的大小
• 对维基百科条目的访问
• 接近绝对零度时，爱因斯坦凝聚的团簇
• 在互联网流量中文件尺寸的分布
• 油田的石油储备数量
• 龙卷风带来的灾难的数量