双因素方差分析

双因素方差分析法（Two-way analysis of variance）

　　双因素方差分析法是一种统计分析方法,这种分析方法可以用来分析两个因素的不同水平对结果是否有显著影响,以及两因素之间是否存在交互效应。一般运用双因素方差分析法,先对两个因素的不同水平的组合进行设计试验,要求每个组合下所得到的样本的含量都是相同的。

　　在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不同的销售策略， 使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、接受该产品。若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区则是影响因素B。对因素A和因素B同时进行分析，就属于双因素方差分析的内容， 双因素方差分析是对影响因素进行检验，究竟是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。

　　双因素方差分析有两种类型：

　　一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；

　　另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

　　例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。

　　双因素方差分析的数据结构如下表所示:

	因素A
		A1	A2	…	Ar
因素B	B1	X11	X12	…	X1r
B2	X21	X22	…	X2r
…	…	…	…	…	…
Bk	Xk1	Xk2	…	Xkr
			…

　　上表，因素A位于列的位置，共有r个水平，\bar{x}_j代表第j种水平的样本平均数；因素B位于行的位置，共有k个水平，\bar{x}_i代表第i种水平的样本平均数。为样本总平均数，样本容量。

　　每一个观察值X_ij看作由A因素的r个水平和B因素的k个水平所组合成的个总体中抽取样本容量为1的独立随机样本。这个总体的每一个总体均服从正态分布，且有相同的方差。这是进行双因素方差分析的假定条件。